Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求A、B、C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ．過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=2 DQ，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）

（2）

解：方法一：由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1，

設M點的橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴當m=﹣2時矩形的周長最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），設直線AC解析式為y=kx+b，

解得k=1，b=3，

∴解析式y=x+3，當x=﹣2時，則E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM=

方法二：

設P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（﹣2﹣t，﹣t2﹣2t+3），

∴矩形PQMN周長為：2PQ+2PM，

∴2PQ+2PM=2（﹣2﹣t﹣t）+2（﹣t2﹣2t+3），

∴2PQ+2PM=﹣2t2﹣8t+2，

∴當t=﹣2時，周長最大，

∴P（﹣2，3），

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴lAC：y=x+3，

∵點E在直線AC上，且EX=PX，

把x=﹣2代入，

∴E（﹣2，1），

∴S△AEM= AM×EM= ×1×1=

（3）

解：方法一：∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，

∴N應與原點重合，Q點與C點重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，

∴D（﹣1，4）

∴DQ=DC= ，

∵FG=2 DQ，

∴FG=4，

設F（n，﹣n2﹣2n+3），

則G（n，n+3），

∵點G在點F的上方，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，

解得：n=﹣4或n=1．

∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）

方法二：

∵D為拋物線頂點，∴D（﹣1，4），Q（0，3），

∴DQ= ，

∵FG=2 DQ=2 × =4，

∴t2+3t﹣4=0，

∴t1=﹣4，t2=1，

∴F1（﹣4，﹣5），F2（1，0）

【解析】方法一：（1）通過解析式即可得出C點坐標，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標．（2）設M點橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．（3）設F（n，﹣n2﹣2n+3），根據已知若FG=2 DQ，即可求得．
方法二：（1）略．（2）求出P，Q的參數坐標，并得出周長的函數表達式，求出P點，進而求出E點坐標，并求出△AEM的面積．（3）求出D點坐標，并求出DQ長度；再求出F，G的參數坐標，并得到FG的函數表達式，利用FG=DQ，求點F的坐標．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．