Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點分別在BC和CD上，下列結論：

（1）BE=DF；（2）∠AEB=75°；（3）BE+DF=EF；（4）．

其中正確的序號是____________(把你認為正確的序號都填上)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據角角之間的數量關系，以及三角形內角和為180°判斷②的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，

∴①說法正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說法正確；
如圖，連接ACAC，交EFEF于GG點，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說法錯誤；
∵EF=2，
∴CE=CF=√2∴CE=CF=2，
設正方形的邊長為a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+(a√2)2=4，

解得a= ，
則a2=2+，
S正方形ABCD=2+，④說法正確．
故答案為①②④．