Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2與y軸的交點為A，拋物線的頂點為B（1，﹣3）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）點P為x軸上一點，當三角形PAB的周長最小時，求出點P的坐標；

（3）水平移動拋物線，新拋物線的頂點為C，兩拋物線的交點為D，當O，C，D在一條直線上時，請直接寫出平移的距離．

Answer 1

【答案】(1) y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2 (2) P（，0） (3) 平移距離為2或3

【解析】

（1）根據題意可得點A的坐標為（0，﹣2），根據頂點坐標為（1，﹣3），可得設拋物線解析式y=a（x﹣1）2﹣3把A點的坐標代入求得a值，即可得拋物線的解析式；（2）當PA+PB最小時，△ABP的周長最小，作A點關于x軸的對稱點A'（0，2），連接A'B，用待定系數法求得直線A'B的解析式，直線A'B與x軸的交點坐標即為點P的坐標；（3）設拋物線向右平移m個單位，得到新的拋物線的頂點C（1+m，-3），由此可得新拋物線的解析式，把兩個拋物線的解析式聯立組成方程組，解方程組求得點D的坐標，再求得直線OC的解析式，因O、C、D三點共線，可得以m為未知數的方程，解方程求得m的值即可.

（1）根據題意得：A（0，﹣2），

設拋物線解析式y=a（x﹣1）2﹣3過點A（0，﹣2），

∴﹣2=a﹣3，

∴a=1，

∴拋物線解析式y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2；

（2）∵A（0，﹣2），B（1，﹣3），

∴AB=，

∵△ABP的周長=PA+PB+AB=PA+PB+，

∴當PA+PB最小時，△ABP的周長最小;

作A點關于x軸的對稱點A'（0，2），連接A'B,

設直線A'B解析式y=kx+b,

根據題意得：,

解得：k=﹣5，b=2

∴直線A'B的解析式y=﹣5x+2；

當y=0時，x=，

∴P（，0）；

（3）設向右平移m個單位長度，則所得新的拋物線的頂點C（1+m，-3），

∴平移后拋物線解析式y=（x﹣1﹣m）2﹣3，

∴C（1+m，﹣3），

∴根據題意可得，

∴，

∴D（1+，）；

∵C（1+m，﹣3，），O（0，0），

∴直線CO解析式y=x，

∵O，C，D三點共線，

∴=，

解得：m1=0（不合題意舍去），m2=﹣3，m3=2；

∴向右平移2個單位長度，或向左平移3個單位長度，O，C，D三點共線．

∴平移距離為2或3.