Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線l：y=x+m交x軸于點A，二次函數y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常數）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，與直線l交于點D，已知CD與x軸平行，且S△ACD：S△ABD=3：5．

（1）求點A的坐標；

（2）求此二次函數的解析式；

（3）點P為直線l上一動點，將線段AC繞點P順時針旋轉α°（0°＜α°＜360°）得到線段A'C'（點A，A'是對應點，點C，C'是對應點）．請問：是否存在這樣的點P，使得旋轉后點A'和點C'分別落在直線l和拋物線y=ax2﹣3ax+c的圖象上？若存在，請直接寫出點A'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣1，0）;(2) y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2;(3)見解析.

【解析】

（1）由題意可得C（0，c），且CD∥x軸，可得D（3，c），根據面積比可得AB=5．由對稱性可得點A（-2m，0）到對稱軸的距離2倍是5，可求m，即可求A點坐標．

（2）由直線l過D點可求D（3，2），由A，B關于對稱軸對稱可求B（4，0），則可用交點式求二次函數的解析式．

（3）由點A是直線l上一點，繞直線l上點P旋轉，且落在直線l上，因此可得點A與點A'重合，或點A繞點P旋轉180°得到A'．設C'（a，-a2+a+2）根據中點坐標公式可求A'點坐標．

解：（1）

∵二次函數y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常數）的圖象與x軸交于A、B兩點

∴C（0，c，），對稱軸是直線x==.

∵CD∥x軸.

∴C，D關于對稱軸直線x=對稱.

∴D（3，c）.

∵S△ACD：S△ABD=3：5．且△ACD和△ABD是等高的.

∴.

∴AB=5.

∵直線y=x+m與x軸交于A點，

∴A（﹣2m，0）.

∵點A，點B關于對稱軸x=對稱.

∴2×[﹣（﹣2m）]=5.

∴m=.

∴A（﹣1，0），且AB=5.

∴B（4，0）.

（2）設拋物線解析式y=a（x+1）（x﹣4）.

∵m=.

∴直線AD解析式y=x+.

∵D（3，c）在直線AD上.

∴c=+=2.

∴D（3，2）且在拋物線上.

∴2=a（3+1）（3﹣4）.

∴a=﹣.

∴拋物線解析式y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2.

（3）∵點A在直線l上，旋轉后A'點落在直線l上，

∴點A與點A'重合，或者點A繞著點P旋轉180°.

當點A與點A'重合時，A'（﹣1，0）.

當點A繞著點P旋轉180°得到A'，點C繞著點P旋轉180°得到C'

∴AP=A'P，CP=CP'.

如圖2:

設C'（a，﹣a2+a+2）.

∵C（ 0，2），CP=CP'.

∴P（a，﹣a2+a+2）.

∵點P在直線l上，

∴﹣a2+a+2=a+.

即 a2﹣2a﹣6=0.

解得：a1=1+，a2=1﹣.

當a1=1+時，y=×（1+）+=.

∴P（，）.

∵AP=A'P.

∴A'（2+，）.

當a2=1﹣時，y=×（1﹣）+=.

∴P（，）.

∵AP=AP'.

∴A'（2﹣，）.

綜上所述A'（2﹣，），（2+，），（﹣1，0）.