Question

設(shè)a₁=3²﹣1²，a₂=5²﹣3²，…，a_n=（2n+1）²﹣（2n﹣1）²（n為大于0的自然數(shù)）．
（1）探究a_n是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；
（2）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”．試找出a₁，a₂，…，a_n，…這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，a_n為完全平方數(shù)（不必說明理由）．

Answer 1

（1）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù) （2）n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)

試題分析：（1）利用平方差公式，將（2n+1）²﹣（2n﹣1）²化簡(jiǎn)，可得結(jié)論；
（2）理解完全平方數(shù)的概念，通過計(jì)算找出規(guī)律．
解：（1）∵a_n=（2n+1）²﹣（2n﹣1）²=4n²+4n+1﹣4n²+4n﹣1=8n，（3分）
又n為非零的自然數(shù)，
∴a_n是8的倍數(shù)．（4分）
這個(gè)結(jié)論用文字語言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)（5分）
說明：第一步用完全平方公式展開各（1），正確化簡(jiǎn)（1分）．
（2）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16，64，144，256．（7分）
n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，a_n為完全平方數(shù)（8分）
說明：找完全平方數(shù)時(shí)，錯(cuò)一個(gè)扣（1），錯(cuò)2個(gè)及以上扣（2分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了公式法分解因式，屬于結(jié)論開放性題目，通過一系列的式子，找出一般規(guī)律，考查了同學(xué)們的探究發(fā)現(xiàn)的能力．