Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點M，將 沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，連接PC

（1）求CD的長；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）點G為 的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E．交 于點F（F與B、C不重合）．問GEGF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OC，

∵ 沿CD翻折后，點A與圓心O重合，

∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA，

∵OC=2，

∴CD=2CM=2 =2 =2

（2）證明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°，

∴PC= = =2 ，

∵OC=2，PO=2+2=4，

∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2，

∴∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切線

（3）解：GEGF是定值，證明如下，

連接GO并延長，交⊙O于點H，連接HF

∵點G為 的中點

∴∠GOE=90°，

∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH

∴△OGE∽△FGH

∴ =

∴GEGF=OGGH=2×4=8．

【解析】（1）利用翻折性質可得出AM=MO=半徑的一半，運用勾股定理可求出；（2）連OC，證垂直，可利用勾股定理逆定理，得出∠PCO=90°，即得切線；（3）利用△OGE∽△FGH把GEGF轉化為OGGH=8定值.