Question

【題目】在平面幾何的學習過程中，我們經常會研究角和線之間的關系．

（1）如圖①，直線a、b被直線c所截，交點分別為A、B．當∠1、∠2滿足數量關系 時，a∥b；

（2）如圖②，在（1）中，作射線BC，與直線a的交點為C，當∠3、∠4滿足何種數量關系時，AB=AC？證明你的結論；

（3）如圖③，在（2）中，若∠BAC=90°，AB=2，⊙I為△ABC的內切圓．

①求⊙I的半徑；

②P為直線a上一點，若⊙I上存在兩個點M、N，使∠MPN=60°，直接寫出AP長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）∠1+∠2=180°；（2）當∠3=∠4時，AB=AC；

（3）①；

②當點P在射線AC上時，0≤AP≤，

當點P在射線AC的反向延長線上時，0≤AP≤

【解析】

試題分析：（1）根據平行線的性質和鄰補角的定義即可得到結論；

（2）根據平行線的性質得到∠ACB=∠4，等量代換得到∠ACB=∠3，由等腰三角形的判定即可得到結論；

（3）①由（2）得AB=AC，推出△ABC是等腰直角三角形．根據勾股定理得到，由⊙I為△ABC的內切圓，得到四邊形ADIF是正方形．根據切線長定理得到r=AD=，于是得到結論；

②當點P在射線AC上時，得到0≤AP≤，當點P在射線AC的反向延長線上時，得到0≤AP≤．

試題解析：（1）∠1+∠2=180°，

故答案為：∠1+∠2=180°；

（2）當∠3=∠4時，AB=AC，

證明：∵a∥b，

∴∠ACB=∠4，

又∵∠3=∠4，

∴∠ACB=∠3，

∴AB=AC；

（3）①由（2）得AB=AC，

又∵∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

∵AB=2，

∴AC=2．

∴在Rt△ABC中，．

設D、E、F分別為邊AB、BC、AC上的切點，

連接ID、IE、IF，

∵⊙I為△ABC的內切圓，

∴ID⊥AB、IE⊥BC、IF⊥AC．

∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．

∵∠BAC=90°，

∴四邊形ADIF是矩形．

∵ID=IF，

∴矩形ADIF是正方形．

∴r=AD=．

∴⊙I的半徑為；

②當點P在射線AC上時，0≤AP≤，

當點P在射線AC的反向延長線上時，0≤AP≤．