Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足點為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果P點的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取到最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P′，求出P′的坐標，并判斷P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2-2x+3；（-1，4）；（2）S=-x2-3x（-3＜x＜-1），S最大值．（3）P′（，）．點P′不在該拋物線上．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+c經過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，則代入求得a，b，c，進而得解析式與頂點D．

（2）由P在AD上，則可求AD解析式表示P點．由S△APE=PEyP，所以S可表示，進而由函數最值性質易得S最值．

（3）由最值時，P為（-，3），則E與C重合．畫示意圖，P'過作P'M⊥y軸，設邊長通過解直角三角形可求各邊長度，進而得P'坐標．判斷P′是否在該拋物線上，將xP'坐標代入解析式，判斷是否為yP'即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，

∴，

解得，

∴解析式為y=-x2-2x+3

∵-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴拋物線頂點坐標D為（-1，4）．

（2）∵A（-3，0），D（-1，4），

∴設AD為解析式為y=kx+b，有，

解得，

∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S△APE=PEyP=（-x）（2x+6）=-x2-3x（-3＜x＜-1），當x=-時，S取最大值．

（3）如圖1，設P′F與y軸交于點N，過P′作P′M⊥y軸于點M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（-，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y軸，

∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，

∴∠FEN=∠P′FE，

∴EN=FN，

設EN=m，則FN=m，P′N=3-m．

在Rt△P′EN中，

∵（3-m）2+（）2=m2，

∴m=．

∵S△P′EN=P′NP′E=ENP′M，

∴P′M=．

在Rt△EMP′中，

∵EM=，

∴OM=EO-EM=，

∴P′（，）．

當x=時，y=-（）2-2+3=≠，

∴點P′不在該拋物線上．