Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動點M，N同時從B點出發，分別沿B?A，B?C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM= _________ 厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）PM=;(2)當t=2時，使△PNB∽△PAD，相似比為2：3;（3）3＜a≤6;（4）∵3＜a≤6時，當a=2時梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

試題分析：（1）要想求出PM的長度,可以利用△ANB∽△APM得到比例,當t=1時，MB=1，NB=1，AM=3，∴PM=;（2）當△PNB∽△PAD時,可以得到比例,∵△ANB∽△APM,∴，∴,可以求出t;（3）要判斷兩個梯形的面積是否相等,只需要把各自的面積表示出來,得到方程,方程有解,則存在,由題,△AMP∽△ABN，∴,即，∴PM=，∵PQ=3﹣，當梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即，化簡得t=，∵t≤3，∴3＜a≤6;（4）由(2)知道,當3＜a≤6時，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，將兩個梯形的面積表示出來,得到方程,方程有解,則a存在,則CN=PM，∴=3﹣t，得t²﹣2at+3a=0，把t=代入，得9a³﹣108a=0，∵a≠0，∴9a²﹣108=0，∴a=±2，∴a=2,當a=2時梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．
試題解析：（1）當t=1時，MB=1，NB=1，AM=4﹣1=3，
∵PM∥BN,
∴△ANB∽△APM，
∴，
∴PM=;
（2）由題,∵△PNB∽△PAD，
∴，
∵△ANB∽△APM,
∴，
∴,
∴t=2，相似比為2：3;
（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，
∴△AMP∽△ABN，
∴,即，
∴PM=，
∵PQ=3﹣，
當梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即==，
化簡得t=，
∵t≤3，
∴≤3，
則a≤6，
∴3＜a≤6;
（4）由(2)知道,當3＜a≤6時，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，
∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CN=PM，
∴=3﹣t，
兩邊同時乘以a，得at﹣t²=3a﹣at，
整理，得t²﹣2at+3a=0，
把t=代入，整理得9a³﹣108a=0，
∵a≠0，
∴9a²﹣108=0，
∴a=±2，
∴a=2,
∴存在a，當a=2時梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．