Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？
（2）請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明；
（3）在平移變換過程中，設y=S△OPB ， BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形APQD為平行四邊形；

（2）解：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP；

（3）解：如圖，過O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當P點在B點右側時，

則BQ=x+2，OE= ，

∴y= × x，即y= （x+1）2﹣ ，

又∵0≤x≤2，

∴當x=2時，y有最大值為2；

②如圖2，當P點在B點左側時，

則BQ=2﹣x，OE= ，

∴y= × x，即y=﹣ （x﹣1）2+ ，

又∵0≤x≤2，

∴當x=1時，y有最大值為 ；

綜上所述，∴當x=2時，y有最大值為2；

【解析】（1）根據平移的性質，可得PQ∥AD且PQ=AD，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行證明即可；
（2）先證明△BOQ為等腰直角三角形，從而可得到∠OQP=∠ABO，由平移的性質和正方形的性質可得到PQ=AB，然后依據SAS可證明△AOB≌△POQ，根據全等三角形的判定與性質，可得AO與OP的數量關系，根據余角的性質，可得AO與OP的位置關系；
（3）根據等腰直角三角形的性質，可得OE的長，根據三角形的面積公式可得到y與x的二次函數關系式，最后，根據二次函數的性質求解即可.