Question

【題目】如圖，在△ABC與△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點D在AB上，點E與點C在AB的兩側，連接BE，CD，點M、N分別是BE、CD的中點，連接MN，AM，AN． 下列結論：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等邊三角形；④若點D是AB的中點，則S△ABC=2S△ABE ．
其中正確的結論是 ． （填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①在△ACD和△ABE中， ∵ ，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
所以①正確；②∵△ACD≌△ABE，
∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，
又∵M，N分別為BE，CD的中點，
∴CN=BM，
在△ACN和△ABM中，
∵ ，
∴△ACN≌△ABM，
∴AN=AM，∠CAN∠BAM，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC∠AMN，
∴△ABC∽△AMN，
所以②正確；③∵AN=AM，
∴△AMN為等腰三角形，
所以③不正確；④∵△ACN≌△ABM，
∴S△ACN=S△ABM ，
∵點M、N分別是BE、CD的中點，
∴S△ACD=2S△ACN ， S△ABE=2S△ABM ，
∴S△ACD=S△ABE ，
∵D是AB的中點，
∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE ，
所以④正確；
本題正確的結論有：①②④；
所以答案是：①②④．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．