Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于點D，CD=BD，BE平分∠ABC，點H是BC邊的中點，連接DH，交BE于點G．

（1）求證：△ADC≌△FDB；

（2）求證：CE=BF；

（3）連結CG，判斷△ECG的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）證明見解析

【解析】

（1）首先根據AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，進一步得到∠ACD=∠DBF，結合CD=BD，即可證明出△ADC≌△FDB；（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，結合CE=AE，即可證明出結論；（3）由點H是BC邊的中點，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，結合BE⊥AC，即可判斷出△ECG的形狀；

證明：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，

∴BE⊥AC，CE=AE

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠DBF，

在△ADC和△FDB中，

，

∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）∵△ADC≌△FDB，

∴AC=BF，

又∵CE=AE，

∴CE=BF；

（3）△ECG為等腰直角三角形．

∵點H是BC邊的中點，

∴GH垂直平分BC，

∴GC=GB，

∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，

∵DB=DC，∠BDC=90°，

∴∠ECG=∠DCB=45°，

又∵BE⊥AC，

∴△ECG為等腰直角三角形；