Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足 ，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=3，AF=4．
（1）求證：△ADF∽△AED；
（2）求FG的長；
（3）求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE

∴△ADF∽△AED

（2）解：∵ ，CF=3，

∴DF=9，

∴CD=CF+DF=12，

∴CG=DG=6，

∴FG=CG﹣CF=3

（3）解：∵AF=4，FG=3，

∴AG= ，

由（1）可知：∠E=∠ADF，

∴tanE=

【解析】（1）根據垂徑定理可知，∠ADF=∠AED，又因為∵∠FAD=∠DAE，從而可知△ADF∽△AED；（2）由題意可求出DF的長度為9，從而可求出CD的長度為12，由垂徑定理可知：CG=DG=6，所以FG=CG﹣CF=3；（3）由勾股定理可求出AG的長度，由圓周角定理可知∠E=∠ADF，從而可求出tan∠E的值．