Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10 cm，過點A作AD∥BC，且點D在點A的右側．點P從點A出發沿射線AD方向以每秒1cm的速度運動，同時點Q從點C出發沿射線CB方向以每秒2cm的速度運動，在線段QC上取點E，使得QE =2cm，連結PE，設點P的運動時間為t秒．

（1）①CE= （用含t的式子表示）

②若PE⊥BC，求BQ的長；

（2）請問是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）①CE=2t －2②（2）存在，t=4或12s

【解析】分析：（1）作AM⊥BC于M，由已知條件得出AB=AC，由等腰三角形的性質得出BM=CM，由直角三角形斜邊上的中線性質得出AM=BC=5，證出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四邊形的判定得出AP=BE，分類討論得出方程，解方程即可．

詳解：（1）①CE= 2t －2（用含t的式子表示）

②作AM⊥BC于M，如圖所示：

∵∠BAC=90°，∠B=45°，

∴∠C=45°=∠B，

∴AB=AC，

∴BM=CM，

∴

∵AD∥BC，

∴∠PAN=∠C=45°，

∵PE⊥BC，

∴PE=AM=5，PE⊥AD，

∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，

∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，

∵CE=CQ-QE=2t-2，

∴5-t=2t-2，

解得： ;

（2）存在，t=4或12s；理由如下：

（ⅰ）當點Q、E在線段BC上時，

若以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，

則AP=BE，

∴t=10-2t+2，

解得：t=4，

（ⅱ）當點Q、E在線段CB的延長線上時，

若以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形

則AP=BE，

t=2t-2-10

解得：t=12

∴存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，t=4或12 s。