Question

【題目】如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G，

∴DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC，

∴DG∥EF，DG=EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形

（2）解：過點O作OM⊥BC于M，

Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4

∴OM= OC=2，

∴CM=2 ，

Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，

∴BM=OM=2，

∴BC=2+2 ，

∴EF=1+ ．

【解析】（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC，從而得到DG∥EF，DG=EF，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）過點O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性質和等腰直角三角形的性質求得結果．
【考點精析】關于本題考查的三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質，需要了解連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能得出正確答案．