Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3a經過A(－1，0)，C(0，－3)兩點，與x軸交于另一點B.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)已知點D(m，－m－1)在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D′的坐標；

(3)在(2)的條件下，連接BD.問在x軸上是否存在點P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) y＝x2－2x－3;(2) (0，－1);(3) P的坐標為(1，0)或(9，0).

【解析】

（1）將A（1，0）、C（0，3）兩點坐標代入拋物線y＝ax2＋bx3a中，列方程組求a、b的值即可；

（2）將點D（m，m1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據對稱性求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標；

（3）分兩種情形①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，分別求出直線CP和直線CP′的解析式即可解決問題．

(1)將A(－1，0)，C(0，－3)代入拋物線y＝ax2＋bx－3a中，

得，

解得，

∴y＝x2－2x－3；

(2)將點D(m，－m－1)代入y＝x2－2x－3中，得m2－2m－3＝－m－1.

解得m＝2或－1，

∵點D(m，－m－1)在第四象限，

∴D(2，－3)，

∵直線BC的表達式為y＝x－3，

∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3－2＝1.

∴點D關于直線BC對稱的點D′的坐標為(0，－1)，

(3)存在，滿足條件的點P有兩個，

①過點C作CP∥BD，交x軸于點P，則∠PCB＝∠CBD，

∵直線BD的表達式為y＝3x－9，直線CP過點C，

∴直線CP的表達式為y＝3x－3.

∴點P的坐標為(1，0)；

②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于點P′，

則∠P′CB＝∠D′BC，

根據對稱性可知∠D′BC＝∠CBD，

∴∠P′CB＝∠CBD，

∵直線BD′的表達式為y＝x－1，直線CP′過點C，

∵直線CP′的表達式為y＝x－3，

∴點P′的坐標為(9，0)，

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(1，0)或(9，0).