Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y= x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3， ）．點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
（3）若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直線解析式y= x+2中，令x=0，得y=2，

∴C（0，2）．

∵點C（0，2）、D（3， ）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴ ，

解得b= ，c=2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+ x+2

（2）

解：∵PF∥OC，且以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴PF=OC=2，

∴將直線y= x+2沿y軸向上、下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側的交點，即為所求之交點．

由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．

將直線y= x+2沿y軸向上平移2個單位，得到直線y= x+4，

聯立 ，

解得x1=1，x2=2，

∴m1=1，m2=2；

將直線y= x+2沿y軸向下平移2個單位，得到直線y= x，

聯立 ，

解得x3= ，x4= （在y軸左側，不合題意，舍去），

∴m3= ．

∴當m為值為1，2或 時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形

（3）

解：存在．

理由：設點P的橫坐標為m，則P（m，﹣m2+ m+2），F（m， m+2）．

如答圖2所示，過點C作CM⊥PE于點M，則CM=m，EM=2，

∴FM=yF﹣EM= m，

∴tan∠CFM=2．

在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF= m．

過點P作PN⊥CD于點N，

則PN=FNtan∠PFN=FNtan∠CFM=2FN．

∵∠PCF=45°，

∴PN=CN，

而PN=2FN，

∴FN=CF= m，PN=2FN= m，

在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF= = m．

∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+ m+2）﹣（ m+2）=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m= m，

整理得：m2﹣ m=0，

解得m=0（舍去）或m= ，

∴P（ ， ）；

同理求得，另一點為P（ ， ）．

∴符合條件的點P的坐標為（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）本問采用數形結合的數學思想求解．將直線y= x+2沿y軸向上或向下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側的交點，即為所求之交點．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．聯立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問符合條件的點P有2個，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點P坐標的時候，需要充分挖掘已知條件，構造直角三角形或相似三角形，解方程求出點P的坐標．