Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，D為AB中點，點P在AC上從C向A運動，運動速度為2（cm/s）；同時，點Q在BC上從B向C運動，設點Q的運動速度為x（cm/s）．且設P，Q的運動時間均為t秒，若其中一點先到達終點，則另一個點也將停止運動．

（1）如圖2，當PD∥BC時，請解決下列問題：

①t=　 　；

②△ADP的形狀為　 　（按“邊”分類）；

③若此時恰好有△BDQ≌△CPQ，請求出點Q運動速度x的值；

（2）當PD與BC不平行時，也有△BDQ與△CPQ全等：

①請求出相應的t與x的值；

②若設∠A=α°，請直接寫出相應的∠DQP的度數（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）①2；②等腰三角形；③1.5cm/s；（2）①當t=1時，x=2；當t=2時，x=3；②.

【解析】

（1）①根據三角形中位線的性質得到當P為AC的中點時，PD∥BC，求出AP，即可解答；②△ADP的形狀為等腰三角形，證明AD＝AP，即可解答；③根據全等三角形的對應邊相等，得到BQ＝CQ，即可解答；（2）①求出BD，根據全等得出要使△BPD與△CQP全等，必須BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16－4x或4x＝16－4x，求出方程的解即可；②先利用定義三角形的性質求出∠B的性質，再由△BDQ與△CPQ全等，∠BDQ＝∠PQC，由∠B＋∠BDQ＋∠BQD＝180°，∠DQP＋∠PQC＋∠BQD＝180°，得到∠DQB＋∠B，即可解答.

（1）①∵PD∥BC，D為AB中點，

∴點P為AC的中點，

∴AP=CP= AC==4cm，

∴t=4÷2=2．

故答案為：2；

②∵D為AB中點，點P為AC的中點，AB=AC，

∴AD=AP，

∴△ADP為等腰三角形，

故答案為：等腰三角形；

③如圖2，

∵△BDQ≌△CPQ，

∴BQ=CQ，

∴BQ=BC= =3cm，

∴點Q運動速度x的值為：3÷2=1.5（cm/s）；

（2）如圖3，

設經過t秒后，使△BPD與△CQP全等，

∵AB=AC=12，點D為AB的中點，

∴BD=6，

∵∠ABC=∠ACB，

∴要使△BPD與△CQP全等，必須BD=CP或BP=CP，

即6=8﹣2t或2t=8﹣2t，

t1=1，t2=2，

t=1時，BP=CQ=2，2÷1=2；

t=2時，BD=CQ=6，6÷2=3；

∴當t=1時，x=2；當t=2時，x=3．

②∵AB=AC，∠A=α°，

∴∠B=∠C=，

∵△BDQ與△CPQ全等，

∴∠BDQ=∠PQC，

∵∠B+∠BDQ+∠BQD=180°，

∠DQP+∠PQC+∠BQD=180°，

∴∠DQB=∠B=．