Question

【題目】如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC＝1：2，點E為邊AB中點，點F是邊BC上一動點，線段CE與線段DF交于點G．

（1）若，求的值；

（2）連接AG，在（1）的條件下，寫出線段AG和線段DC的位置關系和數量關系，并說明理由；

（3）連接AG，若AD＝2，AB＝3，且△ADG與△CDF相似，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AG∥DC，且；理由見解析；（3）BF＝1．

【解析】

（1）延長CE和DA，相交于M，根據平行線分線段成比例進行計算可以求出的值；

（2）在（1）的條件下，求出，根據對應線段的比相等可以得到AG與DC的位置和數量關系；

（3）根據∠ADG＝∠DFC分兩種情況討論：①當∠AGD＝∠FDC，即△ADG∽△CFD時，②當∠DAG＝∠FDC時，分別求解即可．

解：（1）∵BF：FC＝1：3，

∴設BF＝k，則FC＝3k，BC＝4k，

∵AD：BC＝1：2，

∴AD＝2k，

如圖：延長CE交DA的延長線于點M，

∵AD∥BC，

∴，且，

∵點E為邊AB中點，

∴AM＝BC＝4k，

∴DM＝DA+AM＝2k+4k＝6k，

∴；

（2）AG∥DC，且．

證明：∵AD∥BC，

∴，

∵，

∴，

∴AG∥DC，

∴；

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD＝2，AD：BC＝1：2，

∴BC＝4，

∵AD∥BC，

∴∠ADG＝∠DFC，

∵△ADG和△CDF相似，

∴∠AGD＝∠FDC或∠DAG＝∠FDC，

①當∠AGD＝∠FDC，即△ADG∽△CFD時，有AG∥DC，延長CE交DA的延長線于點M，可得AM＝4，

由得，

∴AG＝2，

∵△ADG∽△CFD，

∴，即，

∴CF＝3，

∴BF＝1；

②當∠DAG＝∠FDC時，延長AG交BC于點T，

∵∠ATB＝∠DAG＝∠FDC，∠B＝∠C，

∴△ABT∽△FCD，

∴，

由AD∥BC得，

設BF＝x，

則，

∴FT＝，

∴，

整理得：2x2﹣4x+11＝0，

∵△＝16﹣88＜0，

∴無實數根，即此情況不存在；

綜上所述，BF＝1．