Question

【題目】（本題滿分10分）

如圖，拋物線經過點，，直線交軸于點，且與拋物線交于，兩點．為拋物線上一動點（不與，重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在直線下方時，過點作軸交于點，軸交于點．求的最大值；

（3）設為直線上的點，以，，，為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2-x-2；（2）；（3）能，（1，0）

【解析】

試題分析：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c解方程組即可得到結論；

（2）設P（m，m2-m-2），得到N（m，-m-），M（-m2+2m+2，m2-m-2），根據二次函數的性質即可得到結論；

（3）求得E（0，-），得到CE=，設P（m，m2-m-2），①以CE為邊，根據CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE為對角線，連接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，-），設P（m，m2-m-2），則F（-m，m-），列方程得到此方程無實數根，于是得到結論．

試題解析：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c得，

∴

∴拋物線的解析式為：y=x2-x-2；

（2）設P（m，m2-m-2），

∵PM∥x軸，PN∥y軸，M，N在直線AD上，

∴N（m，-m-），M（-m2+2m+2，m2-m-2），

∴PM+PN=-m2+2m+2-m-m--m2+m+2=-m2+m+=-（m- ）2+，

∴當m=時，PM+PN的最大值是；

（3）能，

理由：∵y=-x-交y軸于點E，

∴E（0，-），

∴CE=，

設P（m，m2-m-2），

∵以E，C，P，F為頂點的四邊形能否構成平行四邊形，

①以CE為邊，∴CE∥PF，CE=PF，

∴F（m，-m-），

∴-m--m2+m+2=，

∴m=1，m=0（舍去），

②以CE為對角線，連接PF交CE于G，

∴CG=GE，PG=FG，

∴G（0，-），

設P（m，m2-m-2），則F（-m，m-），

∴×（m2-m-2+m-）=-，

∵△＜0，

∴此方程無實數根，

綜上所述，當m=1時，以E，C，P，F為頂點的四邊形能否構成平行四邊形．