Question

【題目】在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB上一點，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE的延長線于F．連接DE交對角線AC于H．下列結論：①AC垂直平分ED；②AE=BE；③CE=2BF；④BE=2EF.其中結論正確的是_______．(填序號)

Answer 1

【答案】①③

【解析】

根據△ABC是等腰直角三角形，得出∠BAC=∠BCA=45°，再由AD∥BC得出AC平分∠EAD，又因為AE=AD所以AC是DE的垂直平分線即AC垂直平分ED；延長AF和CB交于點M，連接EM,F、A、B、C四點共圓，F、E、B、M四點共圓，AE=ME>BE；由△AMB≌△CEB, 得出BF=AM，即CE=2BF；作FN∥MB，推出BE<2EF.

解：∵∠ABC=90°，AB=BC

∴△ABC是等腰直角三角形

∴∠BAC=∠BCA=45°

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠BCA

∴∠BAC=∠CAD

∴AC平分∠EAD

∵AE=AD

∴AC垂直平分ED①正確；

延長AF和CB交于點M,連接EM,M、E、D在一條直線上，

由F、A、B、C四點共圓，F、E、B、M四點共圓，

可得∠1=∠2=∠3=∠4，∠FBM=45°+∠1, ∠FMB=45°+∠4,

∴FM=FM,FA=FB, ∠5=∠3=∠4,AE=ME>BE故②不成立；由△AMB≌△CEB,可得CE=AM,F是MA的中點，BF=AM, ∴CE=2BF,故③成立；作FN∥MB,可得BE=BM=2FN,故FN<EF,故BE<2EF,④不成立；故答案為：①③.