Question

【題目】如圖，在中，，，邊長為的正方形的一個頂點在邊上，與另兩邊分

別交于點、，，將正方形平移，使點保持在上（不與重合），設，正方形與重疊部分的面積為．

求與的函數關系式并寫出自變量的取值范圍；

為何值時的值最大？

在哪個范圍取值時的值隨的增大而減小？

Answer 1

【答案】（1），自變量的取值范圍是；（2）當時，有最大值；（3）當時，隨的增大而減小．

【解析】

（1）當點保持在上時，正方形與重疊部分為直角梯形，根據直角梯形的面積公式，只需用含的代數式分別表示出上底、下底及高的長度即可.由為等腰直角三角形，可得高，則，下底，進而得到，再根據等腰三角形及平行線的性質可證，得出上底，根據點保持在上，且不與重合，可知，從而求出自變量的取值范圍；

（2）由（1）知，是的二次函數，根據二次函數的性質，可知當時，的值最大；

（3）根據二次函數的增減性，當時，在對稱軸的右側，的值隨的增大而減小.

解：∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．

在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵點保持在上，且不與重合，

∴，

∴，

∴．

故，自變量的取值范圍是；

∵，

∴當時，有最大值；

∵，，，

∴當時，隨的增大而減小．