Question

【題目】已知為直線上的一點，是直角，平分．

（1）如圖1，若=°，則= °，與的數量關系為 ．

（2）當射線繞點逆時針旋轉到如圖2的位置時，（1）中與的關系是否仍然成立？如成立，請說明理由．

（3）在圖3中，若=°，在的內部是否存在一條射線，使得？若存在，請求出的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）56°；∠BOE＝2∠COF；(2) ∠BOE＝2∠COF仍然成立，理由見解析；（3）存在，∠BOD＝16°.

【解析】

（1）由題意可知：∠FOE＝90°∠COF，由角平分線的性質可求得∠AOE＝2∠EOF，所以∠BOE＝180°∠AOE，即可求得答案，設∠COF＝n°，同理可得∠BOE＝2∠COF；
（2）設∠COF＝n°，故∠EOF＝90°n，由角平分線的性質即可求得∠AOE＝180°2n°，從而求得∠BOE與∠COF的數量關系；
（3）由（2）可知：∠BOE＝2∠COF＝130°，進而求得∠AOE＝180°∠BOE＝50°，由于OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠AOE＝25°，分別代入2∠BOD＋∠AOF＝（∠BOE∠BOD）解得∠BOD即可.

解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°∠COF＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°∠AOE＝56°，
若∠COF＝n°，則∠EOF＝90° n°，

∴∠AOE＝2∠EOF＝180° 2n°，
∴∠BOE＝180°∠AOE＝2n°，
∴∠BOE＝2∠COF；
（2）∠BOE＝2∠COF仍然成立，

理由：設∠COF＝n°，
∴∠EOF＝90°∠COF＝90°n°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°2n°，
∴∠BOE＝180°∠AOE＝2n°＝2∠COF，
故∠BOE與∠COF的關系是仍然成立；
（3）由（2）可知：∠BOE＝2∠COF＝130°，
∴∠AOE＝180°∠BOE＝50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝25°，
∵2∠BOD＋∠AOF＝（∠BOE∠BOD），
∴2∠BOD＋25°＝（130°∠BOD）
解得：∠BOD＝16°.