Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動．

(1)當∠OAD＝30°時，求點C的坐標；

(2)設AD的中點為M，連接OM、MC，當四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；

(3)當點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cos∠OAD的值．

Answer 1

【答案】(1)點C的坐標為(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值為8，cos∠OAD＝．

【解析】

(1)作CE⊥y軸，先證∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，從而得出點C坐標；

(2)先求出S△DCM＝6，結合S四邊形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，設OA＝x、OD＝y，據此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，從而得出答案；

(3)由M為AD的中點，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知當O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8，連接OC，則此時OC與AD的交點為M，ON⊥AD，證△CMD∽△OMN得，據此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．

(1)如圖1，過點C作CE⊥y軸于點E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，

∴∠CDE+∠ADO＝90°，

又∵∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，

在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，

∴OD＝AD＝3，

∴點C的坐標為(2，3+2)；

(2)∵M為AD的中點，

∴DM＝3，S△DCM＝6，

又S四邊形OMCD＝，

∴S△ODM＝，

∴S△OAD＝9，

設OA＝x、OD＝y，則x2+y2＝36，xy＝9，

∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

將x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，

解得x＝3(負值舍去)，

∴OA＝3；

(3)OC的最大值為8，

如圖2，M為AD的中點，

∴OM＝3，CM＝＝5，

∴OC≤OM+CM＝8，

當O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8，

連接OC，則此時OC與AD的交點為M，過點O作ON⊥AD，垂足為N，

∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，

∴△CMD∽△OMN，

∴，即，

解得MN＝，ON＝，

∴AN＝AM﹣MN＝，

在Rt△OAN中，OA＝，

∴cos∠OAD＝．