Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0）、B兩點，交y軸于點C（0，5），且過點D（1，8），M為其頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△MCB的面積？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三點在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴ ，

解方程組，得 ，

故拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5

（2）解：過點M作MN∥y軸交BC軸于點N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積= MNOB．

∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，

∴M（2，9），B（5，0），

由B、C兩點的坐標易求得直線BC的解析式為：y=﹣x+5，

當x=2時，y=﹣2+5=3，則N（2，3），

則MN=9﹣3=6，

則S△MCB= ×6×5=15

（3）解：在拋物線上存在點P，使△PAB的面積等于△MCB的面積．理由如下：

∵A（﹣1，0），B（5，0），

∴AB=6，

∵△PAB的面積=△MCB的面積，

∴ ×6×|yP|=15，

∴|yP|=5，yP=±5．

當yP=5時，﹣x2+4x+5=5，解得x1=0，x2=4；

當yP=﹣5時，﹣x2+4x+5=﹣5，解得x3=2+ ，x4=2﹣ ．

故在拋物線上存在點P1（0，5），P2（4，5），P3（2+ ，﹣5），P3（2﹣ ，﹣5），使△PAB的面積等于△MCB的面積．

【解析】（1）由A、C、D三點在拋物線上，根據待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）過點M作MN∥y軸交BC軸于點N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積= MNOB；（3）先由△PAB的面積等于△MCB的面積，求出AB邊上的高即點P的縱坐標的絕對值，再將點P的縱坐標代入拋物線的解析式，得到一元二次方程，如果方程有實數根，則在拋物線上存在點P，否則不存在．
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．)．