Question

【題目】閱讀理解：

我們知道，四邊形具有不穩定性，容易變形，如圖1，一個矩形發生變形后成為一個平行四邊形，設這個平行四邊形相鄰兩個內角中較小的一個內角為α，我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度．

（1）若矩形發生變形后的平行四邊形有一個內角是120度，則這個平行四邊形的變形度是 ．

猜想證明：

（2）設矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為S2，試猜想S1，S2，之間的數量關系，并說明理由；

拓展探究：

（3）如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，且=AEAD，這個矩形發生變形后為平行四邊形A1B1C1D1，E1為E的對應點，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為（m＞0），平行四邊形A1B1C1D1的面積為（m＞0），試求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）30°．

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得到α=60°，根據三角函數的定義即可得到結論；

（2）如圖1，設矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，根據平行四邊形和矩形的面積公式即可得到結論；

（3）由已知條件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性質得到∠A1B1E1=∠A1D1B1，根據平行線的性質得到∠A1E1B1=∠C1B1E1，求得∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1E1B1+∠A1B1E1=∠A1B1C1，證得∠A1B1C1=30°，于是得到結論．

試題解析：（1）∵平行四邊形有一個內角是120度，∴α=60°，∴==；

故答案為：；

（2），理由：如圖1，設矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，∴S1=ab，S2=ah，sinα=，∴==，∵=，∴；

（3）∵=AEAD，∴=A1E1A1D1，即，∵∠B1A1E1=∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，∴∠A1B1E1=∠A1D1B1，∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1=∠C1B1E1，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1E1B1+∠A1B1E1=∠A1B1C1，由（2）知，可知==2，∴sin∠A1B1C1=，∴∠A1B1C1=30°，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°．