Question

【題目】如圖，B、D、E、F是直線 l上四點，在直線 l的同側作△ABE和△CDF，且 AB∥CD，∠A=40°．作BG⊥AE于 G，FH⊥CD于 H，BG與 FH交于 P點．

（1）如圖 1，B、E、D、F從左至右順次排列，∠ABD=90°，求∠GPH；

（2）如圖 2，B、E、D、F從左至右順次排列，△ABE與△CDF均為銳角三角形，求∠GPH；

（3）如圖 3，F、B、E、D從左至右順次排列，△ABE為銳角三角形，△CDF為鈍角三角形，則∠GPH的度 數為多少？請畫出圖形并直接寫出結果，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）140°；（3）40°.

【解析】

（1）由題意可根據直角三角形兩銳角互余求出∠GPH=∠A=40°；

（2）延長CD與AE相交于點M，則PGMH為四邊形，因為BG⊥AE于G，FH⊥CD于H，則∠PGE=∠PHD=90°，則∠P=360°-∠PGE°-∠PHD-∠M=360°-180°-∠M，又知AB∥CD，所以∠M=∠A=40°，則可以求得∠P的度數；

（3）根據題意可以作圖，延長AB與FH相交于點M，因為AB∥CD，所以∠CHF=∠BMP=90°，則根據三角形內角和定理可得∠GPH=∠A=40°．

（1）∵BG⊥AE，

∴∠BGE=90°

∴∠GBE+∠GEB=90°

∵FH⊥CD, AB∥CD，

∴AB⊥BE,

∴∠ABE=90°

∴∠A+∠AEB=90°，

∴∠GPH=∠GBE=∠A=40°；

（2）如圖所示：

∵AB∥CD，

∴∠M=∠A=40°．

延長CD與AE相交于點M．

則在四邊形PGMH中∠P=360°-180°-∠M=360°-∠A-180°=140°；

（3）∠GPH=40°，圖如下邊所示：

延長AB與FH相交于點M，

因為AB∥CD，

所以∠CHF=∠BMP=90°，

∵PG⊥AE，

∴∠BAG+∠ABG=90°，∠PBM+∠BPM=90°，

∵∠ABG=∠PBM，

∴∠BPM=∠A，

即∠GPH=∠A=40°．