Question

（1）(3分)如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD∶GC∶EB的結果（不必寫計算過程）；
（2）(3分)將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉一定角度，如圖（2），求HD∶GC∶EB；
（3）(2分)把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此時HD∶GC∶EB的值與（2）小題的結果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結果（不必寫計算過程）．

Answer 1

（1）HD:GC:EB＝１: :1（2）HD:GC:EB＝１::1（3）有變化，HD:GC:EB＝

解：（1）HD:GC:EB＝１: :1。
（2）連接AG、AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，
∴AD:AC＝AH:AG＝１:，∠DAC=∠HAG=45°。
∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。
∴HD:GC＝AD:AC＝１:。
∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。
又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE（SAS）。∴HD=EB。
∴HD:GC:EB＝１::1。
（3）有變化，HD:GC:EB＝。
（1）連接AG，
∵正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD。
∴A，G，C共線，AB－AE=AD－AH，∴HD=BE。
∵ 
∴GC=AC－AG=AB－AE= （AB－AE）= BE。
∴HD：GC：EB=1：：1。
（2）連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對應邊成比例與正方形的性質，即可求得HD：GC：EB的值。
（3）連接AG、AC，
∵矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，
DA：AB=HA：AE=m：n，
∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG。
∴AD：AC=AH：AG=，∠DAC=∠HAG。
∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。
∴HD：GC=AD：AC=。
∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。
∵DA：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BE=AD：AB=m：n。
∴HD：GC：EB=。