Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC⊥OA于點C，過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D．
（1）求證：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AO=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BD是切線，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD=90°，

∴∠OBE+∠EBD=90°，

∵EC⊥OA，

∴∠CAE+∠CEA=90°，

∵∠CEA=∠DEB，

∴∠EBD=∠BED，

∴DB=DE

（2）作DF⊥AB于F，連接OE．

∵DB=DE，AE=EB=6，

∴EF= BE=3，OE⊥AB，

在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，

∴DF= =4，

∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，

∴∠AOE=∠DEF，

∴sin∠DEF=sin∠AOE= = ，

∵AE=6，

∴AO= ．

∴⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）欲證明DB=DE，只要證明∠DEB=∠DBE；（2）作DF⊥AB于F，連接OE．只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE= = ，由此求出AE即可解決問題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握垂徑定理(垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)的相關知識才是答題的關鍵．