Question

【題目】已知直線a：y＝2x+4分別與x、y軸交于點A、C．將直線a豎直向下平移7個單位后得到直線b，直線b交直線AD：y＝x+2于點E．

（1）若點Q為直線x軸上一動點，是否存在點Q，使△QDE的周長最小，若存在，求△QDE周長的最小值及點Q的坐標：

（2）已知點M是第一象限直線a上的任意一點，過點M作直線c⊥x軸，交直線b于點N，H為直線AD上任意一點，是否存在點M，使得△MNH成為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標．

Answer 1

【答案】（1）存在，Q（，0），∴△DEQ的周長的最小值為5；（2）存在，滿足條件的點H的坐標為（12，14）或（，）．

【解析】

（1）如圖1中，存在．首先確定點D，點E的坐標，作點D關于x軸的對稱點D′，連接ED′交x軸于Q，連接DQ，此時△DEQ的周長最小．

（2）如圖2中，存在．當點N與E（5，7）重合時，作MH∥x軸交直線y＝x+2于H，此時△MNH是等腰直角三角形，取EH的中點H′，連接MH′，此時△MNH′也是等腰直角三角形.

解：（1）存在．

理由：∵直線y＝2x+4分別與x、y軸交于點A、C，

令x＝0，得到y＝4，令y＝0，得到x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），C（0，4），

∵直線y＝2x+4豎直向下平移7個單位后得到直線b，

∴直線b的解析式為y＝2x﹣3，

∵直線y＝x+2交x軸于A，交y軸于D，

令x＝0，得到y＝2，

∴D（0，2），

由，解得，

∴E（5，7），

如圖1中，作點D關于x軸的對稱點D′，連接ED′交x軸于Q，連接DQ，此時△DEQ的周長最小．

∵D′（0，﹣2），E（5，7），

∴直線DE的解析式為y＝x﹣2，

∴Q（，0），

，，

∴△DEQ的周長的最小值＝DE+DQ+EQ＝DE+QD′+QE＝DE+ED′＝5；

（2）如圖2中，存在．

理由：當點N與E（5，7）重合時，作MH∥x軸交直線y＝x+2于H，此時△MNH是等腰直角三角形，取EH的中點H′，連接MH′，此時△MNH′也是等腰直角三角形，

∵M（5，14），MH∥x軸，

∴H（12，14），

∵E（5，7），EH′＝HH′，

∴H′（，）．

綜上所述，滿足條件的點H的坐標為（12，14）或（，）．