Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=3，OB=5，點D為y軸上一點，其坐標為（0，1），點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．

（1）當點P經過點C時，求直線DP的函數(shù)解析式；
（2）①求△OPD的面積S關于t的函數(shù)解析式；
②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，求點P的坐標．
（3）點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設此時直線DP解析式為y=kx+b，

將D（0，1），C（3，5）代入得： ，

解得： ，

則此時直線DP解析式為y= x+1

（2）

解：①當點P在線段AC上時，OD=1，高為3，S= ；

當點P在線段BC上時，OD=1，高為3+5﹣t=8﹣t，S= ×1×（8﹣t）=﹣ t+4；

②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，D對稱點為（1，0），此時直線OP為y=x，

則此時點P的坐標是（3，3）

（3）

解：存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：

①當BD=BP1=OB﹣OD=5﹣1=4，

在Rt△BCP1中，BD=4，BC=3，

根據(jù)勾股定理得：CP1= = ，

∴AP1=5﹣ ，即P1（3，5﹣ ）；

②當BP2=DP2時，此時P2（3，3）；

③當DB=DP3=4時，

在Rt△DEP3中，DE=3，

根據(jù)勾股定理得：P3E= = ，

∴AP3=AE+EP3= +1，即P3（3， +1），

綜上，滿足題意的P坐標為（3，3）或（3， +1）或（3，5﹣ ）．

【解析】（1）設直線DP解析式為y=kx+b，將D與B坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式；（2）①當P在AC段時，三角形ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關系式；②當D關于OP的對稱點落在x軸上時，直線OP為y=x，求出此時P坐標即可；（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質求出P坐標即可．
【考點精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質和一次函數(shù)的圖象和性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線，圖像經過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能正確解答此題．