Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有菱形OABC，點A的坐標為（5，0），對角線OB、AC相交于點D，雙曲線y=（x＞0）經過AB的中點F，交BC于點E，且OBAC=40，有下列四個結論：

①雙曲線的解析式為y=（x＞0）；②直線OE的解析式為y=x；③tan∠CAO=；④AC+OB=6；其中正確的結論有（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，過F作FG⊥x軸于點G，過B作BM⊥x軸于點M，由菱形的面積可求得BM長，由此可求得AM長，再根據F為AB中點即可求得F點坐標，根據F點在雙曲線上利用待定系數法可求得函數解析式；根據點E在雙曲線上可求得點E坐標，繼而可求得直線OE的解析式；過C作CH⊥x軸于點H，則可得HM=BC，可求得AH，CH長，由此即可求得tan∠CAO的值；在直角△OBM中，由勾股定理可求得OB的長，結合已知條件求得AC長，則可求得AC+OB，可得出答案．

如圖，過F作FG⊥x軸于點G，過B作BM⊥x軸于點M，

∵A（5，0），

∴OA=5，

∴S菱形OABC=OABM=ACOB=×40=20，即5BM=20，

∴BM=4，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=4，由勾股定理可得AM=3，

∵F為AB中點，

∴FG是△ABM的中位線，

∴FG=BM=2，MG=AM=，

∴F（，2）

∵雙曲線過點F，

∴k=xy=×2=7，

∴雙曲線解析式為y=（x＞0），故①正確；

②由①知，BM=4，故設E（x，4）．

將其代入雙曲線y=（x＞0），得4=，

∴x=，

∴E（，4），

易得直線OE解析式為：y=x，故②正確；

③過C作CH⊥x軸于點H，

可知四邊形CHMB為矩形，

∴HM=BC=5，

∵AM=3，

∴OM=5﹣3=2，

∴OH=5﹣OM=3，

∴AH=5+3=8

且CH=BM=4，

∴tan∠CAO=，故③正確；

④在直角△OBM中，OM=2，BM=4，

由勾股定理得到：OB==，

∵OBAC=40，

∴AC=，

∴AC+OB=6，故④正確，

綜上所述，正確的結論由4個，

故選D．