Question

【題目】（1）如圖1，直線AB∥CD，點P在兩平行線之間，寫出∠BAP、∠APC、∠DCP滿足的數(shù)量關(guān)系．

（2）如圖2，直線AB與CD相交于點E，點P為∠AEC內(nèi)一點，AQ平分∠EAP，CQ平分∠ECP，若∠AEC=40°，∠AQC=70°，求∠APC的度數(shù)．

（3）如圖3，連接AD、CB交于點P，AQ平分∠BAD，CQ平分∠BCD，探究∠ABC、∠AQC、∠ADC滿足的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）∠BAP+∠DCP=∠APC；（2）100°；（3）∠ABC+∠ADC=2∠AQC.

【解析】

（1）過P作PE∥AB，利用平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等，易得到∠BAP、∠APC、∠DCP間關(guān)系；

（2）連接EQ并延長至G，連接QP并延長到H，利用角平分線的性質(zhì)和三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的關(guān)系，先得到∠QAP+∠QCP=30°，再得到∠APC的度數(shù)．

（3）利用角平分線的性質(zhì)，得到∠BAQ=∠QAD，∠DCQ=∠QCB，利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角，通過∠BEQ、∠DFQ把∠ABC、∠AQC、∠ADC、連接起來得到結(jié)論.

解:（1）如圖1所示，過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥CD

∵PE∥AB，∴∠BAP=∠APE，

同理，∠DCP=∠CPE

∴∠BAP+∠DCP=∠APE+∠CPE=∠APC

故答案為：∠BAP+∠DCP=∠APC，

（2）連接EQ并延長至G，

∵AQ平分∠EAP，CQ平分∠ECP，

∴∠EAQ=∠QAP，∠ECQ=∠QCP

∵∠AQG=∠QAE+∠AEQ，∠CQG=∠QCE+∠CEQ，

∴∠AQG+∠CQG=∠QAE+∠AEQ+∠QCE+∠CEQ，

即∠AQC=∠CEA+∠QAE+∠QCE

∵∠AEC=40°，∠AQC=70°

∴∠QAE+∠QCE=30°

即∠QAP+∠QCP=30°

連接QP并延長到H．

∵∠APH=∠AQP+∠PAQ，∠CPH=∠PQC+∠PCQ，

∴∠APH+∠CPH=∠AQP+∠PAQ+∠PQC+∠PCQ，

即∠APC=∠CQA+∠QAP+∠QCP

∴∠APC=30°+70°=100°．

（3）如圖3中，

∵AQ平分∠BAD，CQ平分∠BCD，

∴∠BAQ=∠QAD，∠DCQ=∠QCB

∵∠BEQ=∠ABC+∠BAQ=∠BCQ+∠AQC，

∵∠QFD=∠ADC+∠QCD=∠QAD+∠AQC，

∴∠ABC+∠BAQ+∠ADC+∠QCD=∠BCQ+∠AQC+∠QAD+∠AQC

即∠ABC+∠ADC=2∠AQC.