Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，在對稱中心O處有一釘子.動點P、Q同時從點A出發，點P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度運動，到點C停止，點Q沿A→D方向以每秒1cm的速度運動，到點D停止.P、Q兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯結，設x秒后橡皮筋掃過的面積為ycm².
小題1:當0≤x≤1時，求y與x之間的函數關系式；
小題2:當橡皮筋剛好觸及釘子時，求x值
小題3:當1≤x≤2時，求y與x之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時∠POQ的變化范圍；
小題4:當0≤x≤2時，請在給出的直角坐標系中畫出y與x之間的函數圖象.

Answer 1

小題1:當0≤x≤1時，y= (2分)
小題2:如圖,連結BD,
∵ ∠PDO=∠QBO=45°,∠POD=∠BOQ, OB=OD,
∴ △PDO≌△BQO
∴ PD=BQ
即:2x-2=2-x    x=
∴當橡皮筋剛好觸及釘子時，x= （5分）
小題3:當1≤x≤時(如圖),

y = (2x－2+x)×2 =3x－2
當< x≤2時(如圖),連結OC、OB.

y =4－1－(4－2x)×1－(2－x)×1
=
橡皮筋從觸及釘子到運動停止時90°≤∠POQ≤180°或180°≤∠POQ≤270°(答對一個即可). （10分）
小題4:所畫圖形如圖所示.(12分)

（1）當0≤x≤1時，AP=2x，AQ=x，則y=AQ•AP=x²．
（2）根據題意，橡皮筋剛好觸及釘子時，橡皮筋掃過的面積正好是正方形的一半由此的求出x的值．
（3）要分兩種情況進行討論，一是橡皮筋剛觸及釘子時及其以前，二是觸及釘子，橡皮筋彎曲后兩種情況．第一種情況，按梯形的面積進行計算．第二種情況要從中間分成兩個梯形，然后按兩個梯形的面積進行計算．
（4）根據（1）（2）（3）中得出的不同x的取值下的y的函數式畫圖即可．