Question

21、（1）閱讀以下內容：（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，根據上面的規律，得（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=

xⁿ-1

（n為正整數）；
（2）根據這一規律，計算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁷=

2²⁰⁰⁸-1

．

Answer 1

分析：根據式子的特點，右邊多項式的次數比左邊多項式的次數大1，根據規律求解即可．

解答：解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
…
規律為左邊都有（x-1）和關于x的多項式，常數項和每項系數均為1；
右邊多項式的次數比左邊多項式的次數大1．
故（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1（n為正整數）．

（2）根據規律：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁷=（2²⁰⁰⁸-1）÷（2-1）=2²⁰⁰⁸-1．

點評：本題考查了平方差公式，總結并發現規律是解本題的關鍵，對同學們能力要求比較高．