Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，G是BC中點(diǎn)，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，GN∥DE，M是BC延長線上一點(diǎn)。

（1）求證：△ABF≌△DAE

（2）尺規(guī)作圖：作∠DCM的平分線，交GN于點(diǎn)H（保留作圖痕跡，不寫作法和證明），試證明GH=AG。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）作圖見解析，證明見解析.

【解析】解：∵ 四邊形ABCD是正方形

∴ AB=BC=CD=DA

∠DAB=∠ABC=90°

∴ ∠DAE+∠GAB=90°

∵ DE⊥AG BF⊥AG

∴ ∠AED=∠BFA=90°

∠DAE +∠ADE=90°

∴ ∠GAB =∠ADE

在△ABF和△DAE中

∴ △ABF≌△DAE

（2）作圖略

方法1：作HI⊥BM于點(diǎn)I

∵ GN∥DE

∴ ∠AGH=∠AED=90°

∴ ∠AGB+∠HGI=90°

∵ HI⊥BM

∴ ∠GHI+∠HGI=90°

∴ ∠AGB =∠GHI

∵ G是BC中點(diǎn)

∴ tan∠AGB=

∴ tan∠GHI= tan∠AGB=

∴ GI=2HI

∵ CH平分∠DCM

∴ ∠HCI=

∴ CI=HI

∴ CI=CG=BG=HI

在△ABG和△GIH中

∴ △ABG≌△GIH

∴ AG=GH