Question

【題目】如圖，點是等邊三角形內一點,將繞點 .按順時針方向旋轉得, 連接.

（1）求證:是等邊三角形;

（2）當時， 試判斷的形狀，并說明理由;

（3）探究:當為多少度時，是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是直角三角形，理由見解析；（3）當的度數為或或時，是等腰三角形.

【解析】

(1)根據旋轉的性質得到,再根據旋轉角的度數得到∠OCD的度數,根據等邊三角形的判定方法,即可證明.

(2)根據旋轉前后對應的兩個三角形全等可得△BOC≌△ADC,利用全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC=，再利用△COD是等邊三角形得∠ODC=60°，于是可計算出∠ADO的度數，再結合周角為360°，求出∠AOD的度數,探究是否存在等腰直角三角形的情況，進而判斷△AOD的形狀;

(3)需要分三種情況討論，即①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD;如對于①，∠AOD=190°-，∠ADO=-60°，再結合∠AOD=∠ADO建立的方程，求出的度數，同理可以計算其他兩種情況.

(1)證明:由旋轉的性質得:,

是等邊三角形;

(2)當，即°時，

是直角三角形.理由如下:

由旋轉的性質得:

又是等邊三角形，

即是直角三角形;

(3)分三種情況:

①時，

;

②時，

;

③時，

.

綜上所述:當的度數為或或時，是等腰三角形.