Question

【題目】閱讀下列材料： 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為邊AC上一點(diǎn)，DA=DB，E為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠AEB=120°，猜想AC、BE、AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．
小明的思路是：根據(jù)等腰△ADB的軸對(duì)稱性，將整個(gè)圖形沿著AB邊的垂直平分線翻折，得到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)F，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE，交BE的延長(zhǎng)線于F，請(qǐng)補(bǔ)充完成此問(wèn)題；
參考小明思考問(wèn)題的方法，解答下列問(wèn)題：
如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，D、F在直線BC上，DE=BF，連接AD，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AC交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∠DFG+∠D=∠BAC．

（1）探究∠BAD與∠CHG的數(shù)量關(guān)系；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一條和線段AD相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：閱讀材料，如圖2中，結(jié)論：AC=BE+ AE．理由如下，

∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA，

∵AF⊥BF，

∴∠F=∠C=90°，

在△ABF和△BAC中，

，

∴△ABF≌△BAC，

∴AC=BF，

∵∠AEB=120°=∠F+∠FAE，

∴∠FAE=30°，∴EF= AE，

∴AC=BF=BE+EF=BE+ AE，

∴AC=BE+ AE．

問(wèn)題：（1）如圖3中，

∵∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，

∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，

∴∠CHG=∠BAD．

（2）解：結(jié)論：AD=FG．理由如下，

如圖3中，延長(zhǎng)BF到R，使得BR=CD，連接AR，作AJ∥CD交EG的延長(zhǎng)線于J，連接FJ．

∵AJ∥CE，AC∥JE，

∴四邊形ACEJ，四邊形ACGK是平行四邊形，

∴AJ=CE，AC=JE，

∵AB=CA，

∴JE=AB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABR=∠ACD，

在△ABR和△ACD中，

，

∴△ABR≌△ACD，

∴AR=AD，

∵BR=CD，BF=ED，

∴FR=CE=AJ，EF=BD，∵AJ∥RF，

∴四邊形ARFJ是平行四邊形，

∴JF=AR=AD，

在△ABD和△JEF中，

，

∴△ABD≌△JEF，

∴∠1=∠BAD，

∵∠BAD=∠CHG=∠2，

∴∠1=∠2，

∴FG=FJ，

∴AD=FG．

【解析】閱讀材料：如圖2中，結(jié)論：AC=BE+ AE．理由如下，只要證明△ABF≌△BAC，推出AC=BF，再證明EF= AE，可得AC=BF=BE+EF=BE+ AE． 問(wèn)題：（1）由∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，推出∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，可得∠CHG=∠BAD．（2）結(jié)論：AD=FG．如圖3中，延長(zhǎng)BF到R，使得BR=CD，連接AR，作AJ∥CD交EG的延長(zhǎng)線于J，連接FJ．首先證明四邊形ACEJ，四邊形AJFR是平行四邊形，再證明△ABD≌△JEF，想辦法證明∠1=∠2，即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°，以及對(duì)線段垂直平分線的性質(zhì)的理解，了解垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．