Question

【題目】如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P.點C在OP上，且BC=PC.

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；

（2）若OA=3，AB=2，求BP的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）7

【解析】

試題分析：（1）連結OB.由等腰三角形的性質得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°結論可得；

（2）連結DB.由AD是⊙O的直徑，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式，即可得到結果.

試題解析：（1）連結OB.

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，

又∵BC=PC，

∴∠P=∠CBP，

∵OP⊥AD，

∴∠A+∠P=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，

∵點B在⊙O上，

∴直線BC是⊙O的切線，

（2）如圖，連結DB.

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP，

∴，即，AP=9，

∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7.