Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，CO的延長線交AB于點D

（1）求證：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC= ，求AC和CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長AO交BC于H，連接BO，如圖1所示：

∵AB=AC，OB=OC，

∴A、O在線段BC的垂直平分線上，

∴AO⊥BC，

又∵AB=AC，

∴AO平分∠BAC；

（2）解：延長CD交⊙O于E，連接BE，如圖2所示：

則CE是⊙O的直徑，

∴∠EBC=90°，BC⊥BE，

∵∠E=∠BAC，

∴sinE=sin∠BAC，

∴ = ，

∴CE= BC=10，

∴BE= =8，OA=OE= CE=5，

∵AH⊥BC，

∴BE∥OA，

∴ ，即 = ，

解得：OD= ，

∴CD=5+ = ，

∵BE∥OA，即BE∥OH，OC=OE，

∴OH是△CEB的中位線，

∴OH= BE=4，CH= BC=3，

∴AH=5+4=9，

在Rt△ACH中，AC= = =3 ．

【解析】（1）圓中常用輔助線是連半徑，利用垂直平分線的判定定理可得A、O均在線段BC的垂直平分線上，又由等腰三角形的性質“頂角平分線與高重合”得證；（2）出現三角函數時通常把它放在直角三角形中，因此需延長CD,構造出直徑，進而構造出90度的圓周角即直角三角形，可求出直徑CE、BE，由BE∥OA可求OD、CD，進而求出AH，利用勾股定理求出AC.
【考點精析】關于本題考查的三角形的外接圓與外心和解直角三角形，需要了解過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．