Question

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線經過點B，且頂點在直線x=上．

（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，連接CD，與拋物線的對稱軸交于點P，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作MN∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求出S和t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點C和點D都在所求拋物線上（3）當t=時，S取最大值是，此時，點M的坐標為（0，）

【解析】分析：(1)、通過點B（0，4）以及拋物線的對稱軸，求出函數關系式；(2)、通過勾股定理和菱形性質求出C、D兩點的坐標，代入函數關系式求證；(3)、通過C、D兩點的坐標，求出直線CD對應的函數關系式，從而求出點P的坐標，通過△OMN∽△OBD求得ON=，再通過面積求得S與t的函數關系式，從而求得最大值和M點的坐標．

詳解：（1）∵拋物線y=經過點B（0，4）∴c=4，

∵拋物線的對稱軸為，∴﹣=﹣，∴b=﹣；

∴所求函數關系式為；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）， 當x=5時，y=，

當x=2時，y=， ∴點C和點D都在所求拋物線上；

（3）設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b， 則，解得：，∴，

當時，y，∴P（）， ∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD，

∴ 即 得ON=， 設對稱軸交x于點F，

則=（PF+OM）OF=×（+t）×， ∵，

， S△PMN= (0＜t＜4)，

a=＜0∴拋物線開口向下，S存在最大值． 由S△PMN=，

∴當t=時，S取最大值是，此時，點M的坐標為（0，）．