Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+10分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點N（8，4）的直線分別交x軸、y軸于C、D，CD⊥AB．
（1）求直線CD解析式．
（2）把△AOB沿x軸正方向平移得到△EFG，當點E平移到點C處停止移動，設移動的路程為m，直線CD在EFG內所截得的線段長為L，求L與m的函數關系式．
（3）在（2）的條件下，若四邊形DEFN為梯形，求梯形DEFN的面積．

Answer 1

（1）由題意可得A（-5，O），B（0，10）
∴tan∠ABO=

1

2

，
∵CD⊥AB，
∴∠ABO=∠DCO，
∴tan∠DCO=

1

2

，
作NH⊥OC．
∴tan∠DCO=

NH

HC

=

1

2

，
∵N（8，4），
∴NH=4，OH=8，HC=8，
∴OC=16，
∴C（16，0），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
則

8k+b=4 16k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=8

．
∴直線CD的解析式為y=-

1

2

x+8；

（2）由題意可知AE=OF=m
CE=21-m，CF=16-m
∵tan∠DCO=

1

2

，
∴CP=

2 5

5

CE=

2 5

5

（21-m），
CQ=

5

2

CF=

5

2

（16-m）．
①當0＜m≤16（如圖2）
L=PQ=CP-CQ=

2 5

5

（21-m）-

5

2

（16-m）=

5

10

m+

2 5

5

；
②當16＜m＜21（如圖3）
L=CP=

42 5

5

-

2 5

5

m；

（3）∵直線DN、直線EF交于點C
當四邊形DEFN為梯形時，則有NF∥DE
∴

CN

CD

=

CF

CE

，
∵CN=4

5

，CD=8

5

，
∴

4 5

8 5

=

16-m

21-m

，
解得m=11，
∵S_梯形DEFN=S_△DOC-S_△DOE-S_△NFC
∴S=64-24-10=30，
∴若四邊形DEFN為梯形，則梯形DEFN的面積為30．