Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，下面的結論：

①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形：③AC=DO+AP；④S△ABC=S四形形AOCP．

其中正確的是_______．（填序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據此即可求解；
②證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
③首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④過點C作CH⊥AB于H，根據S四邊形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面積公式即可求解．

解：如圖1，連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正確；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形；
故②正確；

如圖2，在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③錯誤；
如圖3，過點C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC=ABCH，
S四邊形AOCP=S△ACP+S△AOC

=APCH+OACD

=APCH+OACH

=CH（AP+OA）

=CHAC，
∴S△ABC=S四邊形AOCP；
故④正確．

故答案為：①②④.