Question

【題目】小學我們已經知道三角形三個內角和是180°，對于如圖1中，，交于點，形成的兩個三角形中的角存在以下關系：①；②．試探究下面問題：

已知的平分線與的平分線交于點，

（1）如圖2，若，，，則_________；

（2）如圖3，若不平行，，，則_______．

（3）在總結前兩問的基礎上，借助圖3，探究與、之間是否存在某種等量關系？若存在，請說明理由；若不存在，請舉例說明．

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）40°；（3）∠D+∠B=2∠E，理由見解析

【解析】

(1)（2）在△CDF和△AEF中，有：∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①；在△ABG和△CEG中, ∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②；①＋②再結合的平分線與的平分線交于點，進行化簡得到∠E=（∠B+∠D），然后將∠B和∠D代入即可解答；

（3）根據（1）（2）的推導即可得到∠D+∠B=2∠E．

解：（1）如圖2在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①

△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②

①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE

又∵的平分線與的平分線交于點

∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE

∴∠E=（∠B+∠D）

∵，

∴∠E＝35°

（2）如圖3:同(1)可得∠E=（∠B+∠D）

∵，

∴∠E＝40°

（3）解：∠D+∠B=2∠E．

理由如下：

在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①

△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②

①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE

又∵的平分線與的平分線交于點

∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE

∴∠E=（∠B+∠D）

∴∠D+∠B=2∠E