Question

【題目】如圖，正方形 ABCD 的邊長為 4，E 是 BC 的中點，點 P 在射線 AD 上，過點 P 作 PF⊥AE，垂足為 F．

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）當點 P 在射線 AD 上運動時，設 PA=x，是否存在實數 x，使以 P，F，E 為頂點的三角形也與△ABE

相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當x=2或x=5時，以P，F，E為頂點的三角形與△ABE相似．

【解析】分析：（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根據題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進而列出關系式．

詳解：證明：∵正方形ABCD

∴AD∥BC ，∠B=90°

∴∠PAF=∠AEB

∵PF⊥AE

∴∠PFA=∠B=90°

∴△PFA∽△ABE .

（2）情況1，當△EFP∽ABE時，則有∠PEF=∠EAB，

∴PE∥AB， ∵AD∥BC ∠B=90°

∴四邊形ABEP為矩形

∴PA=EB=2，即x=2.

情況2，當△PFE∽△ABE時，且∠PEF=∠AEB時，

∵∠PAF=∠AEB

∴∠PEF=∠PAF，

∴PE=PA

∵PF⊥AE

∴點F為AE的中點

∵AE=

∴，

由，得：

∴PE=5， ∴PA= PE=5，即x=5.

∴當x=2或x=5時，以P，F，E為頂點的三角形與△ABE相似．