Question

【題目】已知：如圖，△ABC中的頂點A、C分別在平面直角坐標系的x軸、y軸上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，當點A從原點出發朝x軸的正方向運動，點C也隨之在y軸上運動，當點C運動到原點時點A停止運動，連結OB．

（1）點A在原點時，求OB的長；
（2）當OA=OC時，求OB的長；
（3）在整個運動過程中，OB是否存在最大值？若存在，請你求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：點A在原點時，OB=AB，

∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，

∴AB= = = ；

∴OB=

（2）

解：當OA=OC時，如圖1，作BD⊥y軸于D，

∵AC=2，BC=1，

∵OA2+OC2=AC2，

∴OA=OC= ，

∵OA=OC，

∴∠ACO=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=45°，

∴∠BCD=∠CBD，

∴DB=DC，

∵DC2+DB2=BC2，

∴DB=DC= ，

∴OD=OC+DC= + = ，

∴OB= = =

（3）

解：如圖2，作AC的中點D，連接OD、BD，

∵OB≤OD+BD，

∴當O、D、B三點共線時OB取得最大值，

∵BD= = = ，OD=AD= AC=1，

∴點B到原點O的最大距離為1+ ．

【解析】（1）根據題意AB的長就是OB的長，根據勾股定理求得AB的長即可；（2）作BD⊥y軸于D，根據勾股定理可得OC= ，DC=DB= ，最后根據勾股定理即可求得OB；（3）Rt△AOC的外接圓圓心是AC中點，設AC中點為D，根據三角形三邊關系有OB≤OD+BD=1+ ，即O、D、B三點共線時OB取得最大值．
【考點精析】本題主要考查了兩點間的距離的相關知識點，需要掌握同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記才能正確解答此題．