Question

如圖：已知等邊三角形ABC，D為AC邊上的一動點，CD=nDA，連線段BD，M為線段BD上一點，∠AMD=60°，AM交BC于E．
（1）若n=1，則=　　．=　　；
（2）若n=2，求證：BM=6DM；
（3）當n=　　時，M為BD中點．
（直接寫結果，不要求證明）

Answer 1

（1）1  2 （2）見解析 （3）

試題分析：（1）CD=nDA，當n=1時，CD=DA，據等邊三角形ABC的三線合一，可以得出∠BDA=90°，由∠AMD=60°，可得∠EAD=30°，
又∠BAC=60°，可得∠BAE=30°，AE為∠BAC的角平分線．依據三線合一可得BE=EC．容易得AM=2MD，AM=BM．問題得到解決．
（2）若n=2，則CD=2DA，△ABC是等邊三角形，∠AMD=60°，可證明△BAD≌△ACE，得AD=CE，CD=BE；作輔助線CF∥BD交AE于F，可得===①，==②，觀察①②的乘積，可得BM、DM的數量關系．
（3）由M為BD中點，可知BM=MD．由∠AMD=60°，△ABC為等邊三角形，可得△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD，由相似三角形對應邊成比例，可得AD=，DC=，運用比例的性質合理變形，問題可求．
（1）解：當n=1時，CD=DA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD⊥AC，∠BAC=60°，
∴∠ADM=90°，
又∵∠AMD=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠BAE=∠BAC﹣∠MAD=30°，即∠BAE=∠EAD，
∴AE為△ABC的中線，
∴；
在△AMD中，MD=AM，（30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）
∵∠BAM=∠ABM=30°，
∴AM=BM，
∴．
（2）證明：
∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又∵BA=CA，∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE∴CD=BE
作CF∥BD交AE于F，
∴===①，==②，
∴①×②得=，
∴BM=6DM．
（3）解：
∵M為BD中點，
∴BM=MD，
∵△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE
∴CD=BE
∵△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD
∴AD=③，DC=④，
③•④得CD=AD，
∴n=．

點評：此題為考查三角形中線段的倍數關系，相關知識點的綜合應用能力，解題關鍵在如何作輔助線．