Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BF=DE

（1）求證：△ADE≌△CBF.

（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，該判斷當BE的長度為多少時，四邊形AECF為菱形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE的長度為時，四邊形AECF為菱形.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質可得∠ADE=∠CBF，AD=BC，利用SAS即可證明△ADE≌△CBF；（2）連接AC，設BE=x，AC、EF相交于O，利用勾股定理可求出DE的長，即可用x表示出OE和OB的長，由菱形的性質可得AC⊥EF，即可證明平行四邊形ABCD是菱形，可得AB=AD=4，在Rt△AOB和Rt△AOE中，分別利用勾股定理表示出OA2，列方程求出x的值即可得答案.

（1）∵平行四邊形ABCD，

∴AD//BC，

∴∠∠ADE=∠CBF，AD=BC，

又∵BF=DE，

∴△ADE≌△CBF.

（2）BE的長度為時，四邊形AECF為菱形.理由如下：

連接AC，設BE=x，AC、EF相交于O，

∵AE=3，AD=4，∠DAE=90°，

∴BF=DE==5，

∴OE=，OB=，

∵四邊形AECF為菱形，

∴AC⊥EF，

∴平行四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=4，

在Rt△AOB和Rt△AOE中，OA2=AB2-OB2=AE2-OE2，即42-()2=32-()2，

解得：x=.

∴BE的長度為時，四邊形AECF為菱形.