Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于點O，點E是 上的一動點（不與A、B重合），點F是 上的一點，連接OE、OF，分別與AB、BC交于點G，H，且∠EOF=90°，有以下結論： ① = ；
②△OGH是等腰三角形；
③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；
④△GBH周長的最小值為4+ ．
其中正確的是（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：①如圖所示，
∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE與△COF中，
，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴ = ，①正確；
②∵BE=CF，
∴△BOG≌△COH；
∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，
∴∠GOH=90°，OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正確．
③如圖所示，

∵△HOM≌△GON，
∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，③錯誤；
④∵△BOG≌△COH，
∴BG=CH，
∴BG+BH=BC=4，
設BG=x，則BH=4﹣x，
則GH= = ，
∴其最小值為4+2 ，D錯誤．
故答案為：①②．
①根據ASA可證△BOE≌△COF，根據全等三角形的性質得到BE=CF，根據等弦對等弧得到 = ，可以判斷①；
②根據SAS可證△BOG≌△COH，根據全等三角形的性質得到∠GOH=90°，OG=OH，根據等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判斷②；
③通過證明△HOM≌△GON，可得四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，可以判斷③；
④根據△BOG≌△COH可知BG=CH，則BG+BH=BC=4，設BG=x，則BH=4﹣x，根據勾股定理得到GH= = ，可以求得其最小值，可以判斷④．