Question

【題目】如圖，在ABCD中，以點4為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B、F為圓心，大于BF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并廷長交BC于點E，連接EF

（1）根據以上尺規作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝2，AE＝2，求∠BAD的大小．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 60°.

【解析】

（1）先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可證明；

（2）連結BF，交AE于G．根據菱形的性質得出AB=2，AG=AE=，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG=30°，那么∠BAF=2∠BAE=60°．

解：（1）在△AEB和△AEF中，

，

∴△AEB≌△AEF，

∴∠EAB=∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，

∴BE=AB=AF．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB=BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）連結BF，交AE于G．

∵AB=AF=2，

∴GA=AE=×2=，

在Rt△AGB中，cos∠BAE==，

∴∠BAG=30°，

∴∠BAF=2∠BAG=60°，